MATEMATICA - PROFESSORA PAMELA

Disciplina Matemática – Professora Pamela – Conteúdo para o 7° ano C

Múltiplos e divisores

Os conceitos de múltiplos e divisores de um número natural estendem-se para o conjunto dos números inteiros. Quando tratamos do assunto múltiplos e divisores, referimo-nos a conjuntos numéricos que satisfazem algumas condições. Os múltiplos são encontrados após a multiplicação por números inteiros, e os divisores são números divisíveis por um certo número. Devido a isso, encontraremos subconjuntos dos números inteiros, pois os elementos dos conjuntos dos múltiplos e divisores são elementos do conjunto dos números inteiros. Para entender o que são números primos, é necessário compreender o conceito de divisores. 

Os conceitos de múltiplos e divisores são decorrentes das operações.

Múltiplos de um número 

Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, o número a é múltiplo de b se, e somente se, existir um número inteiro k tal que a = b · k. Desse modo, o conjunto dos múltiplos de a é obtido multiplicando a por todos números inteiros, os resultados dessas multiplicações são os múltiplos de a. Por exemplo, listemos os 12 primeiros múltiplos de 2. Para isso temos que multiplicar o número 2 pelos 12 primeiros números inteiros, assim:

2 · 1 = 2 

2 · 2 = 4 

2 · 3 = 6 

2 · 4 = 8 

2 · 5 = 10 

2 · 6 = 12 

2 · 7 = 14 

2 · 8 = 16

 2 · 9 = 18 

2 · 10 = 20 

2 · 11 = 22 

2 · 12 = 24

Portanto, os múltiplos de 2 são:

M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}

Observe que listamos somente os 12 primeiros números, mas poderíamos ter listado quantos fossem necessários, pois a lista de múltiplos é dada pela multiplicação de um número por todos os inteiros. Assim, o conjunto dos múltiplos é infinito.

Para verificar se um número é ou não múltiplo de outro, devemos encontrar um número inteiro de forma que a multiplicação entre eles resulte no primeiro número. Veja os exemplos: 

→ O número 49 é múltiplo de 7, pois existe número inteiro que, multiplicado por 7, resulta em 49.

49 = 7 · 7

→ O número 324 é múltiplo de 3, pois existe número inteiro que, multiplicado por 3, resulta em 324. 

324 = 3 · 108

→ O número 523 não é múltiplo de 2, pois não existe número inteiro que, multiplicado por 2, resulte em 523. 

523 = 2 · ?

Múltiplos de 4

Como vimos, para determinar os múltiplos do número 4, devemos multiplicar o número 4 por números inteiros. Assim:

4 · 1 = 4 

4 · 2 = 8

 4 · 3 = 12

 4 · 4 = 16 

4 · 5 = 20

 4 · 6 = 24 

4 · 7 = 28 

4 · 8 = 32 

4 · 9 = 36

 4 · 10 = 40

 4 · 11 = 44

 4 · 12 = 48

Portanto, os múltiplos de 4 são: 

M(4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }

Múltiplos de 5 

De maneira análoga, temos os múltiplos de 5.

5 · 1 = 5 

5 · 2 = 10 

5 · 3 = 15 

5 · 4 = 20 

5 · 5 = 25 

5 · 6 = 30 

5 · 7 = 35

Logo, os múltiplos de 5 são: M(5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30 , 35, 40, 45, … }

Divisores de um número

Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, vamos dizer que b é divisor de a se o número b for múltiplo de a, ou seja, a divisão entre b e a é exata (deve deixar resto 0)

Veja alguns exemplos:

→ 22 é múltiplo de 2, então, 2 é divisor de 22. 

→ 63 é múltiplo de 3, logo, 3 é divisor de 63. 

→ 121 não é múltiplo de 10, assim, 10 não é divisor de 121.

Para listar os divisores de um número, devemos buscar os números que o dividem. Veja:

 – Liste os divisores de 2, 3 e 20.

D(2) = {1, 2} 

D(3) = {1, 3} 

D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Observe que os números da lista dos divisores sempre são divisíveis pelo número em questão e que o maior valor que aparece nessa lista é o próprio número, pois nenhum número maior que ele será divisível por ele. Por exemplo, nos divisores de 30, o maior valor dessa lista é o próprio 30, pois nenhum número maior que 30 será divisível por ele. Assim:

D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

Propriedade dos múltiplos e divisores Essas propriedades estão relacionadas à divisão entre dois inteiros. Observe que quando um inteiro é múltiplo de outro, é também divisível por esse outro número. Considere o algoritmo da divisão para que possamos melhor compreender as propriedades.

N = d · q + r, em que q e r são números inteiros.

Lembre-se de que N é chamado de dividendo; d, de divisor; q, de quociente; e r, de resto.

 → Propriedade 1: A diferença entre o dividendo e o resto (N – r) é múltipla do divisor, ou o número d é divisor de (N – r). 

→ Propriedade 2: (N – r + d) é um múltiplo de d, ou seja, o número d é um divisor de (N – r + d).

Veja o exemplo: – Ao realizar a divisão de 525 por 8, obtemos quociente q = 65 e resto r = 5. Assim, temos o dividendo N = 525 e o divisor d = 8. Veja que as propriedades são satisfeitas, pois (525 – 5 + 8) = 528 é divisível por 8 e: 

528 = 8 · 66

Atividades

 1. Demonstre os 12 primeiros múltiplos de 6. 

2. Demonstre os 12 primeiros múltiplos de 12. 

3. Resolva as atividades do Caderno do aluno, pg 22 – exercícios 3.1; 4.1; 5.1; 6.1; 6.2; 6.3; 6.6; lembre-se que em seu caderno há exemplos e exercícios de MDC, máximo divisor comum, que será necessário para a realização de alguns destes exercícios. Faça todo o conteúdo em seu caderno, com a letra bem bonita e legível. 

Se houver dúvidas pode entrar em contato com a professora. Bons estudos!

Encaminhar para o email da Professora:  pami_isabelinha10@yahoo.com.br

Atividades 9º ANos A - B - C

Disciplina Matemática – Professora Pamela – Conteúdo de Estudos para 9° anos A/ B/ C

Retomando os Conjuntos Numéricos

Conjunto dos Números Naturais (N)

O conjunto dos números naturais é representado por N. Ele reúne os números que usamos

para contar (incluindo o zero) e é infinito.

Subconjuntos dos Números Naturais

• N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, ou

seja, sem o zero.

• Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares.

• Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares.

• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos números naturais primos.

Conjunto dos Números Inteiros (Z)

O conjunto dos números inteiros é representado por Z. Reúne todos os elementos dos

números naturais (N) e seus opostos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z (N ⊂

Z):

Subconjuntos dos Números Inteiros

• Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos números inteiros não-

nulos, ou seja, sem o zero.

• Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros e não-negativos. Note que Z+ = N.

• Z

*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros positivos e sem o zero.

• Z – = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-positivos.

• Z

*– = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos e sem o zero.

Conjunto dos Números Racionais (Q)

O conjunto dos números racionais é representado por Q. Reúne todos os números que podem

ser escritos na forma p/q (forma fracionária), sendo p(numerador) e q(denominador)

números inteiros e q≠0.

Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...}

Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q.

Subconjuntos dos Números Racionais

• Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem o

zero.

• Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos números racionais

positivos e o zero.

• Q*

+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais

positivos, sem o zero.

• Q– = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais

negativos e o zero.

• Q*– = subconjunto dos números racionais negativos, formado números racionais negativos, sem o zero.

Conjunto dos Números Irracionais (I)

O conjunto dos números irracionais é representado por I. Reúne os números decimais não

exatos com uma representação infinita e não periódica, por exemplo: 3,141592... ou

1,203040...

Importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais e não irracionais. Elas

são números decimais que se repetem após a vírgula, por exemplo: 1,3333333...

Conjunto dos Números Reais (R)

O conjunto dos números reais é representado por R. Esse conjunto é formado pelos números

racionais (Q) e irracionais (I). Assim, temos que R = Q ∪ I. Além disso, N, Z, Q e I são

subconjuntos de R.

Mas, observe que se um número real é racional, ele não pode ser também irracional. Da

mesma maneira, se ele é irracional, não é racional.

Subconjuntos dos Números Reais

• R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.

• R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.

• R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.

• R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.

• R*

– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos.

ATIVIDADE 1 

Lembrando que todo número escrito na forma de fração é também uma divisão. 

Ex: 30/6 (se fizermos a divisão do numerador pelo denominador teremos o resultado 5).

Responda os exercícios 2.1 e 2.2 da pg 21 do caderno do aluno. 

Como transformar um número representado na forma decimal em forma fracionária?

Transformação de números decimais em frações decimais 

Observe os seguintes números decimais:

Assim: 

 Um número decimal é igual à fração que se obtém escrevendo para numerador o número sem vírgula e dando para denominador a unidade seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais. 

Transformação de fração decimal em número decimal 

 Observe as igualdades entre frações decimais e números decimais a seguir:

Atividade 3 Localizar números racionais na reta numérica. 

Lembrando que em seu caderno há exemplos e exercícios de localização de números reais na reta numérica. Faça uma reta numérica e localize os números a seguir: 

-3; 6/5; 2,5; -14/15; 0,88; 2,45; 16/4; -0,92; -0,666...; 21/8; -44/9 

Resolva a atividade 3 da pg 21 de sua apostila.

 

Dúvidas entre em contato com a professora. Bons estudos!

Enviar as atividades para a Professora;   pami_isabelinha10@yahoo.com.br